1.3 Φραγμένες ακολουθίες

 

Μια ακόμη απόδειξη του ότι άνω και κάτω φραγμένη συνεπάγεται φραγμένη

Έστω ότι η ακολουθία \(x_n\) είναι άνω και κάτω φραγμένη, ισχύει δηλ. για κάποιους πραγματικούς αριθμούς \(u, v\) ότι \[v \le x_n \le u\] για κάθε \(n\). Θα δείξουμε ότι η \(x_n\) είναι φραγμένη, δηλ. ότι η \(\Abs{x_n}\) είναι άνω φραγμένη.
Έχουμε \(v \le x_n \le u\). Πολλαπλασιάζοντας με -1 παίρνουμε \(-u \le -x_n \le -v\). Ας είναι \(M = \max\{\Abs{u}, \Abs{v}\}\). Τότε \(-M \le v\) και \(-M \le -u\). Επίσης \(u \le M\) και \(-v \le M\). Από αυτές τις ανισότητες και τις ανισότητες παραπάνω για τα \(\pm x_n\) παίρνουμε τις δύο ανισότητες
\[ -M \le -x_n \le M \text{ και } -M \le x_n \le M. \]
Από αυτές προκύπτει ότι \(\Abs{x_n} \le M\), όπως έπρεπε να δείξουμε. 


Guest users do not have permission to interact with embedded questions.


Guest users do not have permission to interact with embedded questions.


Last modified: Saturday, 26 September 2020, 9:23 PM