Weekly outline

  • General

    Διαδάσκοντες: Ελένη Τζανάκη (Τμήμα Α), Γραφείο Δ330, email: etzanaki@tem.uoc.gr

                              Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (Τμήμα Β), Γραφείο Γ216, email: tgaref@uoc.gr

    Ωρες γραφείου: Ελένη Τζανάκη (Τμήμα Α), Δευτέρα 9-11

                                Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (Τμήμα Β), Τρίτη 9-11

    Διαλέξεις: Δευτέρα 11:00 - 13:00 (Τμήμα Α: Α203, Τμήμα Β: Α201)

                      Τετάρτη 9:00 - 11:00 (Τμήμα Α: Α203, Τμήμα Β: Α201)

    Εργαστήρια: Παρασκευή 9:00 - 13:00 (Τμήμα Α και Τμήμα Β: Ε212 και Ε214)

    Συγγράμματα:

    1. Σημειώσεις του μαθήματος "Θεμέλια των Μαθηματικών", Χ. Κουρουνιώτης
    2. Αφελής Συνολοθεωρία, P. Halmos, Εκκρεμές.
    3. Σύνολα και Αριθμοί: Μία εισαγωγή στα Μαθηματικά, Τσολομύτης, LEADER BOOKS

    1. The Foundations of Mathematics, Stewart and Tall, Oxford University Press.

    Βαθμολογία: \(\)Η αξιολόγηση θα γίνει με μία πρόοδο και μία τελική εξέταση. Ο τελικός βαθμός του μαθήματος υπολογίζεται με τον παρακάτων τύπο, όπου Π είναι ο βαθμός της προόδου και Τ είναι ο βαθμός της τελικής εξέτασης:

    $$ \max\{0.3\cdot \mbox{Π} + 0.7 \cdot \mbox{T}, \mbox{T}\}$$

    Ημερομηνία Προόδου: Τρίτη 24 Μαρτίου, Τμήμα Α: 17:00 - 18:30, Τμήμα Β: 18:30 - 20:00

    ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ
    Τριτη 11/3/2020: Οι εκπαιδευτικές λειτουργίες του Πανεπιστημίου έχουν ανασταλλεί από σήμερα, Τρίτη 11/3/2020 και για 14 ημέρες. Ως εκ τούτου, οι διαλέξεις και τα εργαστήρια του μαθήματος δεν θα πραγματοποιούνται αυτό το διάστημα. Επίσης ακυρώνεται η πρόοδος που ήταν προγραμματισμένο να γίνει στις 24 Μαρτίου. Για οποιαδήποτε εξέλιξη που σχετίζεται με το μάθημα θα μπορείτε να ενημερώνεστε από αυτή την ιστοσελίδα.

    Τριτη 17/3/2020: Στο εξής και μέχρι την επαναλειτουργία  των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων του πανεπιστημιου θα ενημερώνουμε τη σελίδα του μαθήματος με βιντεο παραδόσεων, φυλλάδια (και λύσεις φυλλαδίων). Σας συνιστούμε να  κρατήσετε επαφή με το μάθημα  παρακολουθώντας τις παραδόσεις  και προσπαθωντας να  λύσετε τις ασκήσεις (πρίν δείτε τις λύσεις). 

    Παρασκευή 27/3/2020: Σύμφωνα με την απόφαση του Τμήματος (δείτε και τη σχετική ανακοίνωση στην ιστοσελίδα του Τμήματος) η εκπαιδευτική λειτουργία συνεχίζεται εξ αποστάσεως. Θα αναρτούμε σε αυτή την ιστοσελίδα εκπαιδευτικό υλικό ανά εβδομάδα. Το υλικό αυτό θα περιλαμβάνει βιντεοσκοπημένες διαλέξεις, διαφάνειες, φυλλάδια ασκήσεων και λύσεις επιλεγμένων ασκήσεων. Για την επικοινωνία μας, μπορείτε να χρησιμοποιείτε είτε ηλεκτρονικό ταχυδρομείο ή το χώρο συζητήσεων (forum) του μαθήματος. Συνιστούμε να κάνετε χρήση του forum καθώς θα μπορούν όλοι οι συνάδελφοι σας να βλέπουν τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις, καθώς επίσης να συμμετέχουν στη συζήτηση και να απαντούν και οι ίδιοι. Οι μέθοδοι της εξ αποστάσεως εκπαίδευσης είναι καινούριες για όλους μας. Θα κάνουμε ό,τι μπορούμε, ώστε το εξάμηνο να ολοκληρωθεί με τον καλύτερο δυνατό τρόπο.

    Τρίτη 26/5/2020: Η τελική εξέταση θα είναι γραπτή (με θέματα πολλαπλής επιλογής) και θα πραγματοποιηθεί σε χώρο του πανεπιστημίου το νωρίτερο στις 22 Ιουνίου. Όσοι και όσες  δέν επιθυμούν να εξεταστούν με φυσική παρουσία, θα υπάρξει η δυνατότητα διαδικτυακής εξέτασης η οποία θα περιλαμβανει γραπτό και προφορικό μέρος. Το πρώτο μέρος μέρος της διαδικτυακής εξέτασης θα είναι σύντομη γραπτή εξέταση, στην οποία αν επιτύχετε θα έχετε δικαίωμα  να περάσετε το στάδιο της προφορικής.  Για να λάβετε μέρος στην εξέταση (με φυσική παρουσία ή διαδικτυακά) θα σας ζητηθεί να συμπληρώσετε κάποια φόρμα που θα αναρτηθεί συντομα στην ιστοσελίδα του τμήματος. 

    Παρασκευή 12/6/2020: Την Τρίτη 16/6/2020 στις 17:00 θα ανοίξει στην πλατφόρμα του μαθήματος ένα δοκιμαστικό τελικό διαγώνισμα. Ο σύνδεσμος τον οποίο πρέπει να ακολουθήσετε για να ξεκινήσετε το διαγώνισμα θα βρίσκεται κάτω από τις ανακοινώσεις της ιστοσελίδας του μαθήματος. Το δοκιμαστικό διαγώνισμα θα παραμείνει ανοικτό για 50 λεπτά (έως τις 17:50). Συνιστούμε να συμμετάσχετε στο δοκιμαστικό διαγώνισμα, ιδαίτερα όσοι πρόκειται να εξεταστείτε εξ αποστάσεως.

    Παρασκευή 19/6/2020:  Λεπτομέρειες σχετικά με την εξέταση.

    Το διαγωνισμα της εξέτασης με φυσική παρουσία θα εχει τη μορφή ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής. Οι λανθασμενες απαντήσεις θα έχουν αρνητική βαθμολογία και για να περάσετε πρέπει να έχετε βαθμό μεγαλύτερο ή ίσου του 5. 

    Το πρωτο μέρος της εξ'αποστάσεως εξέτασης θα είναι on-line quiz το οποίο θα έχει ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (επίσης με αρνητική βαθμολογία). Το quiz θα ανοιξει στην πλατφορμα του μαθηματος, την Δευτερα 29/6 στις 10:00 και θα έχει διάρκεια 50 λεπτα. Οσων ο βαθμος του quiz  θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 5, θα ειδοποιήθουν από εμάς για την προφορική εξέταση. 

    Οσοι στο διαδικτυακό quiz πήρατε βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4.69 θα προχωρήσετε στην διαδικασία της προφορικής εξέτασης.  Τις επόμενες μέρες θα λάβετε προσωπικό e-mail από τον διδάσκοντα του τμήματος στο οποίο ανήκετε

    Δευτέρα 31/8/2020: Λεπτομέρειες σχετικά με την εξέταση του Σεπτεμβρίου.

    Το διαγωνισμα της εξέτασης με φυσική παρουσία θα εχει τη μορφή ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής. Οι λανθασμενες απαντήσεις θα έχουν αρνητική βαθμολογία και για να περάσετε πρέπει να έχετε βαθμό μεγαλύτερο ή ίσου του 5. 

    Το πρωτο μέρος της εξ'αποστάσεως εξέτασης θα είναι on-line quiz το οποίο θα έχει ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής (επίσης με αρνητική βαθμολογία). Το quiz θα ανοιξει στην πλατφορμα του μαθηματος, την Τρίτη 8/9 στις 10:00 και θα έχει διάρκεια 60 λεπτα. Οσων ο βαθμος του quiz  θα είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 5, θα ειδοποιήθουν από εμάς για την προφορική εξέταση.

    Τρίτη 1/9/2020: αλλαγή τρόπου διεξαγωγής των εξετάσεων του μαθήματος 

    Μετα απο την ανακοινωση για αναστολή των εξετάσεων με φυσική παρουσία, η εξεταση του μαθηματος "ΘΕΜΕΛΙΑ" θα γίνει εξ'αποστάσεως για ολους τους φοιτητες.

    Θα ακολουθησουμε την ίδια διαδικασία με αυτην του Ιουνίου. Θα προηγηθεί διαδικτυακό quiz διάρκειας 60 λεπτων και όσοι παρουν βαθμο μεγαλυτερο ή ίσο του 5 θα συνεχίσουν με προφορική εξέταση.

    Η μερα του διαδικτυακου quiz θα είναι ίδια με την μερα των  εξετασεων, δηλαδη Τριτη 8/9.

    Το τελικό κουιζ για το Τμημα Α θα ανοιξει  Τριτη 8/9 στις 11:00-12:00

    Το τελικό κουιζ για το Τμημα B θα ανοιξει  Τριτη 8/9 στις 12:15-13:15

    Στις ανακοινώσεις του μαθηματος (εχει σταλεί σε όλους και το αντιστοιχο mail) επισημαίνουμε ότι στην προφορική εξέταση θα προχωρήσουν όσοι έχουν στο κουιζ  βαθμο μεγαλύτερο ή ίσο του 5

    Παρακαλόυμε,  όλοι οσοι έχετε περάσει στην προφορική εξέταση να ελέγχετε τακτικά το mail σας διότι θα σας ερθει ειδοποιηση για την προφορική εξέταση.

  • 3 February - 9 February

    Μιλήσαμε για βασικές έννοιες της θεωρίας συνόλων: σύνολο, υποσύνολο, ένωση, τομή, διαφορά, συμμετρική διαφορά, συμπλήρωμα ενός συνόλου (εντός ενός "σύμπαντος"). Είδαμε διάφορες ιδιότητες των παραπάνω πράξεων. Είδαμε την έννοια του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου. Γενικεύσαμε τις έννοιες της τομής και της ένωσης σε (άπειρες) οικογέννειες συνόλων. Ολα αυτά αντιστοιχουν στο κεφάλαιο 1 απο τις σημειώσεις του  Χ.Κουρουνιώτη

    • 10 February - 16 February

      \(\)Ορίσαμε το καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων και είδαμε βασικές ιδιότητες και παραδείγματα. Ορίσαμε την έννοια της σχέσης μεταξύ δύο συνόλων $A$ και $B$ και είδαμε παραδείγματα. Ορίσαμε πότε μία σχέση $\sigma$ σε ένα σύνολο $A$ είναι ανακλαστική, συμμετρική, μεταβατική, αντισυμμετρική.

      Μία σχέση σε ένα σύνολο $A$ ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας εάν είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Ορίσαμε τη κλάση ισοδυναμίας (ως προς τη δοσμένη σχέση ισοδυναμίας) ενός στοιχείου. Είδαμε παραδειγματα. Ορίσαμε την έννοια της διαμέρισης ενός συνόλου και είδαμε πώς σχετίζεται με την έννοια της σχέση ισοδυναμίας.  Ορίσαμε τη σχέση ισοτιμίας modulo $n$ για $n\in \mathbb{N}$, δείξαμε ότι είναι σχέση ισοδυναμίας και μελετήσαμε τις κλάσεις της.

      • 17 February - 23 February

        \(\) Συμβολίσαμε με $\mathbb{Z}_n$ το σύνολο των κλάσεων της σχέσης $\equiv_n$ (ισοτιμία modulo $n$) και δείξαμε ότι περιέχει ακριβώς $n$ στοιχεία: $\mathbb{Z}_n = \{[0]_n,[1]_n,\ldots,[n-1]_n\}$. Ορίσαμε πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιαμού στο σύνολο $\mathbb{Z}_n$:

        $$[a]_n + [b]_n = [a+b]_n,\ \ \ [a]_n \cdot [b]_n = [ab]_n$$

        Είδαμε γιατί οι παραπάνω "κανόνες" ορίζουν πράξεις (ότι δηλαδή το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την επιλογή του αντιπροσώπου κάθε κλάσης). Είδαμε παραδείγματα.

        Ορίσαμε τι είναι σχέση διάταξης και πότε μία σχέση διάταξης είναι ολική διάταξη. Είδαμε παραδείγματα.

        • 24 February - 1 March

          Ορίσαμε την έννοια της συνάρτησης και είδαμε τι σημαίνει μία συνάρτηση να είναι ενεικονική (ένα προς ένα), επεικονική (επί του πεδίου τιμών) και αμφιμονοσήμαντη. Ορίσαμε τη σύνθεση συναρτήσεων και είδαμε ιδιότητες. Ορίσαμε την εικόνα ενός υποσυνόλου του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης καθώς και την αντίστροφη εικόνα ενός υποσυνόλου του πεδίου τιμών. Είδαμε παραδείγματα.

          Είδαμε την έννοια της διμελούς πράξης και ορίσαμε πότε μία διμελής πράξη είναι μεταθετική και πότε είναι προσεταιριστική. Είδαμε παραδείγματα.

          • 2 March - 8 March

            Είδαμε βασικές έννοιες της προτασιακής λογικής. Ορίσαμε τι είναι ένας τύπος και δώσαμε έννοια Αλήθειας/Ψεύδους μέσω πινάκων αληθείας.

            • 9 March - 15 March

              Στο τελευταίο μάθημα στο αμφιθέατρο μιλήσαμε για τον αξιωματικό ορισμό των φυσικών αριθμών με τα αξιώματα του Peano και ξεκινήσαμε να μιλάμε για επαγωγη. 

              Το παρακάτω βίντεο καλύπτει τα εξής απο το κεφάλαιο 6 των σημειώσεων: 

              • απόδειξη με επαγωγή 
              • αλλες μορφές επαγωγής
            • 30 March - 5 April

              \(\)Παρακολουθήστε τα παρακάτω βιντεο με τις λύσεις του φυλλαδίου 6 (λογικη)

              Φυλλάδιο 6, ασκήσεις 1-3

              Φυλλάδιο 6, ασκήσεις 4-5

              Η υλη της λογικής που εχουμε καλύψει αφορά το Κεφάλαιο 4 (Μαθηματικη Λογικη) των σημειώσεων Κουρουνιώτη. 

              Από την τελευταία παράγραφο (Λογικά συμπεράσματα, σελ. 77) εχουμε απλώς αναφερθεί στην ισοδυναμία λογικών προτάσεων, δηλ. στα 1,2,3,4 (αντιθετοαντιστροφή, απαγωγή σε άτοπο, αν και μονον αν).  Δεν εχουμε αναφερθεί σε κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων και κανονα επαγωγής. 

              Επίσης, δεν εχουμε αναφερθει στην παραγραφο "Απόδειξη" (σελ. 79)

              Παρακολουθήστε τα παρακάτω βίντεο, τα οποία αφορούν τις παραγράφους "Διαιρετότητα" και "Παραγοντοποίηση" των σημειώσεων, σελ. 98 και 99. Προσέξτε ότι μελετάμε τις έννοιες λίγο γενικότερα από τις σημειώσεις: τις μελετάμε στο σύνολο των ακεραίων $\mathbb{Z}$.

            • 6 April - 12 April

              Παρακολουθήστε το video 1, το οποίο αφορά την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων. Αντιστοιχεί στις σελίδες 99, 100 και 101 των σημειώσεων. Ορίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη (μκδ) δύο ακεραίων και στη συνέχεια παρουσιάζουμε τον Ευκλείδιο Αλγόριθμο για τον υπολογισμό του μκδ δύο φυσικών. Δείχνουμε ότι η ύπαρξη και ο υπολογισμός του μκδ δύο οποιονδήποτε ακεραίων ανάγεται στην ύπαρξη και τον  υπολογισμό του μκδ φυσικών αριθμών.

              Παρακολουθήστε το video 2, το οποίο αφορά το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής και τη χρήση του Ευκλείδιου αλγόριθμου για να γράψουμε το μκδ δύο αριθμών ως ακέραιο γραμμικό συνδυασμό τους. Η ύλη αυτή αντιστοιχεί στις σελίδες 101 και 102 των σημειώσεων.

              Μία παρατήρηση: στο κεφάλαιο 6 έχουμε επιλέξει να μη δώσουμε πολύ βάρος στον αναδρομικό ορισμό των πράξεων και τις αποδείξεις των βασικών ιδιοτήτων τους. Ειδικότερα, το παράρτημα του κεφαλαίου 6 είναι εκτός ύλης. Αντί αυτών έχουμε εστιάσει στην έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη και του Ευκλείδιου αλγόριθμου.

            • 13 April - 19 April

              Παρακολουθήστε τα παρακάτω βίντεο με τις λύσεις των ασκήσεων του φυλλαδίου 7. 

              video 1: φυλλάδιο 7 (ασκ. 1-4) 

              video 2: φυλλάδιο 7 (ασκ. 5-8)

              ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ (15/4/2020 - 21/4/2020)

            • 20 April - 26 April

              \(\)ΔΙΑΚΟΠΕΣ ΠΑΣΧΑ (15/4/2020 - 21/4/2020)

              Στο παρακάτω video παρουσιάζουμε τις λύσεις του 8ου φυλλαδίου ασκήσεων. Στην 8η άσκηση, περίπου στο χρονικό σημείο 27:35 του video, αναφέρουμε "οι εκθέτες $a_1, a_2$ έως $a_s$ είναι άρτιοι, άρα και ο $a$ είναι άρτιος", το οποίο βεβαίως δεν είναι σωστό: αφού οι εκθέτες είναι άρτιοι, ο $a$ είναι τετράγωνο ακεραίου, όπως δείξαμε στο αμέσως προηγούμενο λήμμα. Παρόμοια για τους εκθέτες $b_1$ έως $b_t$ και το $b$. Επίσης, στην άσκηση 9β, αναφέρουμε ως παράδειγμα αριθμών $a,b$ τέτοιων ώστε $(a^2+b^2,a+b)=2$, τους $a=2, b=4$, που βέβαια δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους, όπως απαιτεί η άσκηση. Πάρτε το παράδειγμα $a=b=1$ ή $a=1, b=3$.

              Επίσης, ετοιμάσαμε ένα σύντομο quiz σχετικά με διαιρετότητα, πρώτους αριθμούς και μέγιστο κοινό διαιρέτη. Μπορείτε να κάνετε όσες προσπάθειες θέλετε. Ο βαθμός του quiz δεν επηρεάζει το βαθμό του μαθήματος.

            • 27 April - 3 May

              Παρακολουθήστε στο video 1 κάποιες εφαρμογές του Θεωρήματος μοναδικής ανάλυσης σε πρώτους. Χαρακτηρίζουμε το μκδ δύο φυσικών δεδομένης της ανάλυσης τους σε πρώτους, ορίζουμε την έννοια του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου δύο φυσικών και δείχνουμε ότι υπάρχει και αποδεικνύουμε ένα θεώρημα που συνδέει το μκδ και το εκπ δύο φυσικών.

              Το δευτερο βίντεο που έχει αναρτηθεί αφορά το κεφάλαιο της συνδυαστικής (Κεφάλαιο 7 των σημειώσεων).

              Το βίντεο αναφέρεται στο εισαγωγικό κομμάτι των σημειώσεων (σελ. 109-112).

              Παρακολουθήστε προσεκτικά τα παραδείγματα και προσπαθήστε να λύσετε τις ασκήσεις του φυλλαδίου 9.

            • 4 May - 10 May

              Τα video αυτής της εβδομάδας αντιστοιχούν στο δευτερο μέρος της συνδυαστικής του Κεφαλαίου 7 (σελ. 112-119). 

              Δείτε τα προσεκτικά, και κατανοήστε κάθε περίπτωση πριν προχωρήσετε στην επόμενη. Την επόμενη εβδομάδα θα ανεβάσουμε video με πολλές λυμένες ασκήσεις! 

              Μή διστάζετε να  ανεβάζετε απορίες στο blog του μαθήματος ή να μας στελνετε mail! 

              Οι ασκήσεις που αντιστοιχούν στα δύο τελευταία βίντεο της συνδυαστικής βρίσκονται στο φυλλάδιο 10 και 11. Τα δύο φυλλάδιά (10 και 11)  εχουν αναρτηθεί μαζί σκοπίμως, διότι περιέχουν  ασκήσεις συνδυαστικής που δεν θέλουμε να τις διαχωρήσουμε ωστε να προσπαθήσετε να καταλάβετε μόνοι σας σε ποιά περίπτωση απαρίθμησης ανηκουν. Ολες οι λύσεις θα αναρτηθούν σε βίντεο από την ερχόμενη εβδομάδα. 

            • 11 May - 17 May

              \(\)Στη λύση της άσκησης 3.1, εκ παραδρομής υπολογίζουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη, αντί για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, το οποίο είναι το ζητούμενο. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο υπολογίζεται λαμβάνοντας το μέγιστο εκθέτη για κάθε πρώτο αριθμό που εμφανίζεται στην παραγοντοποίηση των δοθέντων αριθμών και στην περίπτωση μας είναι $2^3\cdot 3^7\cdot 5\cdot 11^2\cdot 17^3$. (Στις διαφάνειες εχει γίνει η διόρθωση).

            • 18 May - 24 May

              Δειτε τα παρακάτω βίντεο με τις λύσεις των φυλλάδίων 10 και 11

              Για να συνδεθείτε στις ώρες γραφείου την Τρίτη στις 9:00, ακολουθήστε τον παρακάτω σύνδεσμο:

              https://meet.google.com/rxz-ugmc-zyx

            • 25 May - 31 May

              Παρακολουθήστε το βίντεο που αφορά το κεφάλαιο 8 των σημειώσεων του μαθήματος. 

              Παρακολουθήστε το βίντεο με τις λύσεις του φυλλαδίου 12 (το βίντεο εχει κάποια επιπλέον υποερωτήματα, τα οποία δεν είναι στο φυλλάδιο).