Weekly outline

  • General

    ΜΕΜ 222 -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ

    Διδάσκων: Θεόδουλος Γαρεφαλάκης (γραφείο: Γ216, email: tgaref@uoc.gr)

    Το εργαστήριο της αυτής της Δευτέρας θα γίνει κανονικά (9-11 και 11-1).

    Εβδομαδιαίο Πρόγραμμα

    Ώρες διαλέξεων: Τρίτη 9 - 11, Πέμπτη 9 - 11 (Α201)

    Ώρες εργαστηρίου: Δευτέρα 9 - 11, 11 - 1 (Αναγνωστήριο)

    Ώρες γραφείου: Τρίτη 11 - 1, Πέμπτη 11 - 1 (Γ216)

    Προτεινόμενα Συγγράμματα

    1. Δ. Βάρσου, Δ. Δεριζιώτη, Γ. Εμμανουήλ, Μ. Μαλιάκα, Ο. Ταλέλλη, Μία Εισαγωγή στην Άλγεβρα, εκδ. Σοφία 2005.
    2. Δ.Μ. Πουλάκη, Άλγεβρα, εκδ. Ζήτη, 2015.

    Βαθμολογικό Σύστημα

    Θα γίνει μία προαιρετική πρόοδος η οποία θα μετράει στο βαθμό σας κατά 30%. Ειδικότερα, εάν ο βαθμός της προόδου είναι Π και ο βαθμός της τελικής εξέτασης είναι Τ, ο τελικός βαθμός του μαθήματος υπολογίζεται ως

    $$ B = \max \{ 0.3 \cdot Π + 0.7 \cdot Τ, Τ\}$$

    Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 4 February - 10 February

    Κάναμε επανάληψη της συμμετρικής ομάδας. Ορίσαμε τη στήριξη (support) μίας μετάθεσης, την έννοια του κύκλου και δείξαμε ότι κάθε μετάθεση γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο ξένων κύκλων.

    Ορίσαμε και μελετήσαμε το πρόσημο μίας μετάθεσης. Ορίσαμε και μελετήσαμε τη διεδρική ομάδα.

    • 11 February - 17 February

      Αποδείξαμε το θεώρημα του Cayley: Εάν $G$ είναι ομάδα τάξης $n$, τότε είναι ισόμορφη με κάποια υποομάδα της $\mathbb{S}_n$.

      Εάν $G$ είναι ομάδα και $S\subseteq G$, ορίσαμε την υποομάδα της $G$ η οποία παράγεται από το σύνολο $S$ ως

      $ \langle S\rangle = \bigcap H$, όπου η τομή είναι πάνω στο σύνολο όλων των υποομάδων $H$ της $G$, οι οποίες περιέχουν το $S$. Αποδείξαμε ότι

      $$\langle S\rangle = \{x_1^{\epsilon_1}\cdots x_n^{\epsilon_k}\ :\ k\in \mathbb{N},\ x_1,\ldots,x_k\in S,\epsilon_1,\ldots, \epsilon_k\in \{-1,1\}\}.$$

      Είδαμε παραδείγματα πεπερασμένα παραγόμενων ομάδων, οι οποίες δεν είναι κυκλικές.

      Δεδομένων ομάδων $(G_1, \cdot),\ldots,(G_n, \cdot)$, ορίσαμε στο καρτεσιανό γινόμενο $G=G_1\times \cdots \times G_n$ την πράξη $\cdot$ ως εξής:

      $$ (a_1,\ldots, a_n) \cdot (b_1,\ldots, b_n) = (a_1\cdot b_1, \ldots, a_n \cdot b_n).$$

      Δείξαμε ότι με την πράξη αυτή το σύνολο $G$ είμαι ομάδα (την οποία ονομάζουμε γινόμενο των $G_1,\ldots, G_n$).

      • This week