Weekly outline

  • General

    Α14 - ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ( Μεταπτυχιακό)

             Διδάσκων:  Α. Κουβιδάκης 

     

    ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ:  Τρίτη - Πέμπτη 11:00-13:00 (Β212).

    ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:  Κάθε δύο εβδομάδες τήν Δευτέρα  11:00-13:00 (Β212) - 1η συνάντηση την Δευτέρα 18/2.

    ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ: Απαιτείται η  πολύ καλή γνώση τής ύλης τών προπτυχιακών μαθημάτων: Άλγεβρα Ι, Άλγεβρα ΙΙ, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, Γραμμική Άλγεβρα Ι. Βοηθάει αν έχετε παρακολουθήσει ή παρακολουθείτε τό τρέχον εξάμηνο τά προπτυχιακά μαθήματα:  Μιγαδική Ανάλυση, Θεωρία Δακτυλίων, Διαφορική Γεωμετρία, Τοπολογία και τά μεταπτυχιακά μαθήματα: Άλγεβρα Ι, Εισαγωγή στις Διαφορίσιμες Πολλαπλότητες.

       

    ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - ΒΙΒΛΙΑ:

    Igor Dolgachev: Introduction to Algebraic Geometry

    William Fulton: Algebraic Curves

    Andreas Gathmann: Algebraic Geometry

    J.S. Milne: Algebraic Geometry

    Karen Smith: Notes in Algebraic Geometry

  • 4 February - 10 February

    Εισαγωγικά . Τί μελετάει η Αλγεβρική Γεωμετρία. Σχέση  με άλλους κλάδους (Μιγαδική Γεωμετρία, Θεωρία Αριθμών κα). Αλγεβρικά σύνολα. Πότε ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων με μιγαδικούς συντελεστές έχει λύση (weak Nullstellensatz). Το ριζικό ενός ιδεώδους. Τό θεώρημα Nullstellensatz. Ο αφφινικός χώρος και τα αλεβρικά του υποσύνολα. Γενικά περί τοπολογικών χώρων. Η τοπολογία Ζariski στον αφφινικό χώρο και οι ιδιοτητές της. 

  • 11 February - 17 February

    Η κλειστή θήκη υποσυνόλου τού \( {\mathbb A}_k^n \)  ως προς την τοπολογία Zariski. Η αντιστοιχία αλγβερικών υποσυνόλων τού \( {\mathbb A}_{\mathbb C}^n \) με τά ριζικά ιδεώδη τού \( {\mathbb C}[x_1,...,x_n] \). Ανάγωγοι (irreducible) τοπολογικοί χώροι. Ένα αλγεβρικό σύνολο \( V \) είναι ανάγωγο αν και μόνον αν το ιδεώδες \( {\mathbb I}(V) \) είναι πρώτο. Υπό την παραπάνω αντιστοιχία, τα ανάγωγα αλγεβρικά τού  \( {\mathbb A}_{\mathbb C}^n \) αντιστοιχούν στα πρώτα ιδεώδη και τα σημεία στα μέγιστα ιδεώδη. Δακτύλιοι  Noether. Τοπολογικοί χώροι Noether. Η διάσπαση ενός χώρου Noether σε πεπερασμένη ένωση ανάγωγων κλειστών υποσυνόλων του. Κάθε αλγεβρικό σύνολο γράφεται μοναδικά ως πεπερασμένη ένωση ανάγωγων αλγεβρικών συνόλων. Η διάσταση ενός ανάγωγου τοπολογικού χώρου και, γενικότερα, ενός τοπολογικού χώρου Noether. Ορισμός και απλά παραδείγματα: \( {\rm dim} A^n_k =n \) , όπου \( k=\) άπειρο σώμα. Αν \( V \) γνήσιο αλγεβρικό υποσύνολο τού \( {\mathbb A}_k^n \) τότε \( {\rm dim} V \leq n -1 \)

  • This week